내가 공부한 옥타브23 (강의노트10)

오일러의 방법을 이용해서 1계미분방정식의 해를 구하는 것이 목적입니다. 

 

1계 상ㅁ분 방정식의 해를 수치적으로 (컴퓨터를 이용해 구하는 방식중 하나인) 구하는 가장 기본적인 방법인

오일러 method에 대해 공부합니다. 

 

오일러방법은 1계상미분 방정식의 초기치 문제에 대한 해를 수치적으로 구하는 방법입니다. 

y(x)가 해인데

y(x)의값을 x1, x2, x3 ...

이런 x의 값을 x0부터 시작해서 x의 값이 h만큼 늘어납니다. 

함숫값 yx1 yx2 yx3를 정확히 구할 수는 없고, 그것의 근삿값을 구할 수 있게 됩니다. 

순차적으로 구할 수 있습니다. 

 

먼저 초기조건 x=x0 일때 y0는 문제에서 주어져 있습니다.

이 점에서 접선의 방정식을 구해본다면, (그 점에서의 기울기를 사용하고)

x1의 함숫값을 구하고 싶지만 그값을 정확히 구하진못하고 그 접선을 따라 찾는 접선상의 근처에 있는 값인 y1을 구하고 자 하는 것입니다. 

기울기에 h만큼의 간격을 곱한것을 원래의 값 y0에 더하면 됩니다. 

실제로 정의역이 x1일떄 함숫값인 y(x1)과 약간의 차이는 있지만 

x1에서 h만큼 간 지점에 x2가 또 있을 것입니다. 

이 지점에서의 함숫값도 위와 같은 방법을 사용해서 구합니다.

이 를 계속 반복하다 보면

 

이러한 방법으로 해의 근삿값을 찾는것을 오일러의 방법이라고 하는데, 오일러의 방법을 이용해서 아래와같이

제1계 상미분 방정식의근삿값을 찾아보도록 합니다. 

 

 

루프를 돌리면ㄴ서 

순차적으로 y값이 구해진것을 볼 수 있습니다. 

 

 

 

 

 

이와 같이 오일러의 방법을 이용해서 아래의 두 예제를 풀 수있습니다.

출력값에 정보를 더추가하고

그래프르르 그리고

직접계산 하지않고 함수를 이용해서 계산하는 정도를 추가할 수 있습니다. 

 

 

1계상미분방정식의 초기치 문제에서 해의 근삿값을 구해보고 ,이론적으로 공부한 방법으로 해를 구해보고 

차이가 얼마정도나는지, 이 오차값을 결과화면에 띄워보라는 문제입니다. 

 

구하면 아래와 같은 결론이 나게 됩니다. 

아래와 같은 그래프도 그려볼 수 있습니다. 

계산 방법은 같은데

19a와의 차이점은 

y(n+1)을 계산할 때 직접 이 자리에 y'()에 대한 식을 직접넣어서 계산을 했었는데

19b에서 식을 그대로 주지않고 익명함수로 불러서 사용했다는 차이가 있습니다. 

 

맨윗줄에 이값이 어떤 값인지 출력을 해줘야 쓸모있는 테이블이 되므로 fpirintf()함수를 추가로 사용해줍니다. 

table함수를 사용해서 처음부터 아래와 같이 만들 수도  있습니다. 

 

다음문제는

똑같은 과정을 함수로 만들어서 

그 함수의 함수이름 , x범위의 시작값, x범위의 끝값, y의 초기치, stepsize를 인자로 받아서,

x의 범위와 y의 근삿값들을 한 번에 출력합니다. 

 

함수를 불러서 오일러 방정식의 방법으로 푸는 문제입니다. 

두개의 파일을 만들어야 합니다. 

하나는 익명함수파일을 만들어서 함수이름파일에 저장하고 별도의 파일에 저장합니다. 

 

ex19c.m에서 쓰는 함수

 

미분